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在线性代数中，线性映射是连接两个向量空间的函数，它具有特殊的性质，使得我们能够将向量空间从静态的概念转化为动态的操作。这一概念不仅丰富了线性代数的内容，还为理解向量空间的结构提供了重要工具。
一个从向量空间 ( V ) 到 ( W ) 的线性映射 ( T ) 可以用以下性质来定义：
这两条性质结合在一起，使得线性映射既能保持向量的线性关系，又能将线性空间转化为一个函数空间。
所有从 ( V ) 到 ( W ) 的线性映射组成一个集合 ( \mathcal{L}(V, W) )。这个集合中的每个元素都是一个函数，其行为由它对基向量的映射决定。具体来说，如果 ( v_1, \dots, v_n ) 是 ( V ) 的基，那么任意线性映射 ( T ) 可以通过其对这些基向量的作用来唯一确定。
给定 ( V ) 的基 ( v_1, \dots, v_n ) 和 ( W ) 中的向量 ( w_1, \dots, w_n )，存在唯一的一个线性映射 ( T ) 使得 ( Tv_j = w_j ) 对所有 ( j = 1, \dots, n ) 成立。这意味着，只要两个线性映射对所有基的像都相同，它们就是同一个映射。
为了使 ( \mathcal{L}(V, W) ) 成为一个代数结构，我们可以在其上定义加法和标量乘法：
这些定义使得 ( \mathcal{L}(V, W) ) 成为一个向量空间。
线性映射的乘积是通过函数复合定义的。如果 ( L \in \mathcal{L}(U, V) ) 和 ( S \in \mathcal{L}(V, W) )，则乘积 ( ST ) 定义为 ( ST(u) = S(Tu) ) 对所有 ( u \in U ) 成立。线性映射的乘积具有结合性、单位元和分配性等代数性质。
对于有限维向量空间 ( V )，任何线性映射 ( T ) 都有零空间和值域。零空间 ( \mathrm{null}T ) 是由满足 ( Tv = 0 ) 的向量组成的集合，值域 ( \mathrm{range}T ) 是由 ( Tv ) 组成的集合。线性映射基本定理指出：
[\dim V = \dim \mathrm{null}T + \dim \mathrm{range}T]
这个定理揭示了线性映射如何影响向量空间的维数结构。
零空间是由线性映射 ( T ) 将 ( V ) 中的向量映射到零向量所形成的子空间。零空间是一个向量空间，其维数等于 ( V ) 的维数减去 ( T ) 的值域维数。
对于有限维向量空间 ( V )，线性映射 ( T ) 满足：
[\dim V = \dim \mathrm{null}T + \dim \mathrm{range}T]
这个定理揭示了零空间和值域之间的维数关系。
设 ( T \in \mathcal{L}(\mathbb{F}^n, \mathbb{F}^m) )，证明存在标量 ( A_{j,k} \in \mathbb{F} )（其中 ( j = 1, \dots, m )，( k = 1, \dots, n )），使得对于任意 ( (x_1, \dots, x_n) \in \mathbb{F}^n )，都有：
[T(x_1, \dots, x_n) = (A_{1,1}x_1 + \dots + A_{1,n}x_n, \dots, A_{m,1}x_1 + \dots + A_{m,n}x_n)]
证明：
选择 ( V ) 的自然基 ( e_1, \dots, e_n )，它们在 ( T ) 下映射到特定的向量 ( T(e_i) = (A_{1,i}, \dots, A_{m,i}) )。对于任意向量 ( v = x_1e_1 + \dots + x_ne_n )，线性性给出：
[Tv = T(x_1, \dots, x_n) = x_1T(e_1) + \dots + x_nT(e_n) = (A_{1,1}x_1 + \dots + A_{1,n}x_n, \dots, A_{m,1}x_1 + \dots + A_{m,n}x_n)]
因此，存在这样的标量 ( A_{j,k} )。
设 ( V ) 是有限维且 ( \dim V \ge 2 )，证明存在 ( S, T \in \mathcal{L}(V, V) )，使得 ( ST \neq TS )。
证明：
选择 ( V ) 中的两个线性无关向量 ( v_1, v_2 )（因为 ( \dim V \ge 2 )）。定义线性映射 ( S ) 和 ( T ) 如下：
[Tv_1 = v_2, \quad Tv_2 = 0][Sv_1 = v_1 + v_2, \quad Sv_2 = v_1]
计算 ( STv_1 ) 和 ( TSv_1 )：
[STv_1 = S(Tv_1) = S(v_2) = v_1][TSv_1 = T(Sv_1) = T(v_1 + v_2) = Tv_1 + Tv_2 = v_2 + 0 = v_2]
由于 ( v_1 ) 和 ( v_2 ) 是线性无关的，( STv_1 \neq TSv_1 )，因此 ( ST \neq TS )。
设 ( U, V ) 是有限维向量空间，( S \in \mathcal{L}(V, W) )，( T \in \mathcal{L}(U, V) )，证明：
[\dim \mathrm{null}(ST) \leq \dim \mathrm{null}S + \dim \mathrm{null}T]
证明：
首先，注意到 ( \mathrm{null}T \subset \mathrm{null}(ST) )。设 ( u_1, \dots, u_m ) 是 ( \mathrm{null}T ) 的基。如果 ( \mathrm{null}(ST) = \mathrm{null}T )，则不等式成立。假设 ( \mathrm{null}(ST) ) 的维数大于 ( \mathrm{null}T ) 的维数，可以选择 ( \mathrm{null}(ST) ) 的基 ( u_1, \dots, u_m, u_{m+1}, \dots, u_{m+n} )，使得 ( Tu_{m+1}, \dots, Tu_n ) 线性无关。通过分析 ( a_{m+1}Tu_{m+1} + \dots + a_nTu_n = T(\sum_{j=m+1}^n a_j u_j) \in \mathrm{null}T )，可以得出 ( a_{m+1} = \dots = a_n = 0 )，证明 ( Tu_{m+1}, \dots, Tu_n ) 线性无关。因此：
[\dim \mathrm{null}(ST) = m + n \leq \dim \mathrm{null}S + \dim \mathrm{null}T]
设 ( D \in \mathcal{L}(\mathcal{P}(\mathbb{R}), \mathcal{P}(\mathbb{R})) ) 使得对每个非常数多项式 ( p \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) ) 有 ( \deg(Dp) = \deg p - 1 )，证明 ( D ) 是满射。
设 ( p \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) )，证明存在多项式 ( q \in \mathcal{P}(\mathbb{R}) ) 使得：
[5q'' + 3q' = p]
第1题证明：
选择 ( D ) 作为降次算子 ( Dp = 3p' + 5p'' )。由于 ( D ) 的作用可以将任意多项式降一次阶数，因此 ( D ) 是满射，覆盖了所有多项式空间 ( \mathcal{P}(\mathbb{R}) )。
第2题证明：
通过选择合适的 ( q )，例如 ( q = x^n )，可以得到：
[5q'' + 3q' = 5n(n-1)x^{n-2} + 3n x^{n-1}]
通过选择合适的 ( n ) 和系数，可以匹配任意多项式 ( p )。例如，令 ( n = 2 )，则：
[5(2)(1)x^0 + 3(2)x^1 = 10 + 6x = p]
从而 ( q = x^2 ) 满足 ( 5q'' + 3q' = p )。
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